Cho pt: \(4x^2+2\left(m-1\right)x-m=0\)
Tìm m để pt có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thõa mãn \(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x^2_2}=8\)
Cho PT: \(x^2-mx-2=0\). Tìm m để PT có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:
\(x_1^2.x_2+x_1x^2_2+7>x_2^1+x_2^2+\left(x_1+x_2\right)^2\)
Vì \(a\cdot c=1\cdot\left(-2\right)=-2< 0\)
nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2\end{matrix}\right.\)
Sửa đề: \(x_1^2\cdot x_2+x_1\cdot x_2^2+7>x_1^2+x_2^2+\left(x_1+x_2\right)^2\)
=>\(x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+7>\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)^2\)
=>\(-2m+7>m^2-2\left(-2\right)+m^2\)
=>\(2m^2+4< -2m+7\)
=>\(2m^2+2m-3< 0\)
=>\(\dfrac{-1-\sqrt{7}}{2}< m< \dfrac{-1+\sqrt{7}}{2}\)
1 . Cho pt :\(x^2-mx+m-1=0\) . Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) và biểu thức \(A=\dfrac{2x_1x_2+3}{x^2_1+x^2_2+2\left(x_1x_2+1\right)}\) đạt GTLN
2.Giả sử m là giá trị để phương trình \(x^2-mx+m-2=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\dfrac{x_1^{^2}-2}{x_1-1}.\dfrac{x^2_2-2}{x_2-1}=4\) . Tìm các giá trị của m
1.
\(a+b+c=0\) nên pt luôn có 2 nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
\(A=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2}=\dfrac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\dfrac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)
\(A=\dfrac{m^2+2-\left(m^2-2m+1\right)}{m^2+2}=1-\dfrac{\left(m-1\right)^2}{m^2+2}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=1\)
2.
\(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=\left(m-2\right)^2+4>0;\forall m\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{\left(x_1^2-2\right)\left(x_2^2-2\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=4\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1^2+x_2^2\right)+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(m-2\right)^2-2m^2+4\left(m-2\right)+4}{m-2-m+1}=4\)
\(\Rightarrow-m^2=-4\Rightarrow m=\pm2\)
Cho PT \(x^2-2x+m-1=0\). Tìm m để PT có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x^2_1+x^2_2-3x_1x_2=2m^2+\left|m-3\right|\)
Cho PT: \(x^2+2\left(m+1\right)x-8=0\left(1\right)\).
Tìm \(m\) để PT có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn: \(x_1^2=x_2\)
PT có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m+1\right)^2+32>0\left(\text{đúng }\forall m\right)\)
Theo Vi-ét: \(\begin{cases} x_1+x_2=-2(m+1)=-2m-2\\ x_1x_2=-8 \end{cases}\)
Vì $x_1$ là nghiệm của PT nên \(x_1^2=-2(m+1)x_1+8\)
Ta có \(x_1^2=x_2\)
\(\Leftrightarrow-2\left(m+1\right)x_1+8=x_2\\ \Leftrightarrow x_2+2mx_1+2x_1-8=0\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)+2mx_1+x_1-8=0\\ \Leftrightarrow x_1\left(2m+1\right)-2m-10=0\\ \Leftrightarrow x_1=\dfrac{2m+10}{2m+1}\)
Mà \(x_1+x_2=-2m-2\Leftrightarrow x_2=-2m-2-\dfrac{2m+10}{2m+1}=\dfrac{-4m^2-8m-12}{2m+1}\)
Ta có \(x_1x_2=-8\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2m+10}{2m+1}\cdot\dfrac{-4m^2-8m-12}{2m+1}=-8\\ \Leftrightarrow\left(2m+10\right)\left(m^2+2m+3\right)=2\left(2m+1\right)^2\\ \Leftrightarrow m^3+3m^2+9m+14=0\\ \Leftrightarrow m^3+2m^2+m^2+2m+7m+14=0\\ \Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(m^2+m+7\right)=0\\ \Rightarrow m=-2\)
Vậy $m=-2$
1) Cho pt \(5x^2-7x+1=0\)
a) C minh pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)
b) Tính giá trị biểu thức \(A=\left(x_1-\dfrac{7}{5}\right)x_1+\dfrac{1}{25x^2_2}+x^2_2\)
2) Cho pt \(x^2-4+1-2m=0\) (x là ẩn số)
a) tìm m để pt có nghiệm
b) tìm m để 2 nghiệm \(x_1,x_2\) của pt thỏa \(x^2_1+x^2_2=6\)
`1)`
$a\big)\Delta=7^2-5.4.1=29>0\to$ PT có 2 nghiệm pb
$b\big)$
Theo Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{7}{5}\\x_1x_2=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(x_1-\dfrac{7}{5}\right)x_1+\dfrac{1}{25x_2^2}+x_2^2\\ \Rightarrow A=\left(x_1-x_1-x_2\right)x_1+\left(\dfrac{1}{5}\right)^2\cdot\dfrac{1}{x_2^2}+x_2^2\\ \Rightarrow A=-x_1x_2+\left(x_1x_2\right)^2\cdot\dfrac{1}{x_2^2}+x_2^2\)
\(\Rightarrow A=-x_1x_2+x_1^2+x_2^2\\ \Rightarrow A=\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\\ \Rightarrow A=\left(\dfrac{7}{5}\right)^2-3\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{34}{25}\)
cho pt \(x^2-4x+m-1=0\) với m là tham số
a) giải pt với m=4
b) tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(x_1\left(x_1+2\right)+x_2\left(x_2+2\right)=20\)
a: Thay m=4 vào phương trình, ta được:
\(x^2-4x+4-1=0\)
=>\(x^2-4x+3=0\)
=>(x-1)(x-3)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)
b: \(\text{Δ}=\left(-4\right)^2-4\cdot1\left(m-1\right)\)
\(=16-4m+4=-4m+20\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0
=>-4m+20>0
=>-4m>-20
=>\(m< 5\)
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{\left(-4\right)}{1}=4\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{matrix}\right.\)
\(x_1\left(x_1+2\right)+x_2\left(x_2+2\right)=20\)
=>\(\left(x_1^2+x_2^2\right)+2\left(x_1+x_2\right)=20\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)=20\)
=>\(4^2-2\cdot\left(m-1\right)+2\cdot4=20\)
=>-2(m-1)+24=20
=>-2(m-1)=-4
=>m-1=2
=>m=3(nhận)
Cho pt: \(x^2-x+m\)=0 (1)
Tìm m để pt(1) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn:
\(\left(x^2_1+x_2+m\right)\left(x_2^2+x_1+m\right)\)= \(m^2-m-1\)
\(\Delta=1-4m>0\Rightarrow m< \dfrac{1}{4}\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
\(\left(x_1^2+x_2+m\right)\left(x_2^2+x_1+m\right)=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow\left[x_1\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2+x_2+m\right]\left[x_2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2+x_1+m\right]=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-1=1\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=2>\dfrac{1}{4}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
cho pt : \(3x^2-4x-8=0\)
a) Chứng minh pt có 2 nghiệm phân biệt
b) Không giải pt hãy tính: A= \(\left(x_1-1\right)x_1+\left(x_2-1\right)x_2\) B=\(x^2_1x^2_2-\left(x_1-x_2\right)^2\)
C= \(2x^2_1+2x^2_2-x^2_1x_2-x^2_2x_1\)
\(\Delta'=\left(-2\right)^2-3.\left(-8\right)=4+24=28>0.\)
\(\Rightarrow\) Pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2+2\sqrt{7}}{3}.\\x_2=\dfrac{2-2\sqrt{7}}{3}.\end{matrix}\right.\)
`x^2 -(m+1)x+m=0`
tìm m để pt có 2 nghiệm `x_1 , x_2` thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)-x_1-x_2+5\)
\(\text{Δ}=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot m\)
\(=\left(m+1\right)^2-4m\)
\(=\left(m-1\right)^2>=0\forall m\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)-x_1-x_2+5\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+6\)
=>\(\left(m+1\right)^2-2m=m-2\left(m+1\right)+6\)
=>\(m^2+1=m-2m-2+6\)
=>\(m^2+1=-m+4\)
=>\(m^2+m-3=0\)
=>\(m=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}\)